数列求和

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等差数列

$$对于等差数列,有a_{n+1}=a_n+d$$

$$记S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+a_2+...+a_n$$

公式推导🕊

由$$S_n=a_1+a_2+...+a_n=a_n+a_{n-1}...+a_1$$两两相组得$$2S_n=\underbrace{(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+...+(a_n+a_1)}_{n组}$$

又因$$a_n=a_1+(n-1)d$$所以每组相等,即$$(a_1+a_n)=(a_2+a_{n-1})=...=(a_n+a_1)=2a_1+(n-1)d$$共有n组,所以$$2S_n=n(a_1+a_n)$$$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$

等比数列

$$对于等比数列,有a_{n+1}=a_n*q$$

$$记S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+a_2+...+a_n$$

公式推导🕊

因为$$a_n=a_1*q^{n-1}$$所以$$S_n=a_1+a_1*q+a_1*q^2+...+a_1*q^{n-1}$$$$q*S_n=a_1*q+a_1*q^2+...+a_1*q^n$$

显然$$q*S_n-S_n=a_1*q^n-a_1$$$$S_n=\frac{(q^n-1)a_1}{q-1}=\frac{a_nq-a_1}{q-1}$$

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某不知名高中生