向量(基础笔记)

1 平面向量的基本概念

1.1 向量和数量

向量:既有大小又有方向的量(类似于物理中的矢量)
数量:只有大小而没有方向的的量(类似于物理中的标量)

1.2 向量的符号

  向量$$a$$:手写一般使用$$\color{red} \vec{a}$$,而印刷一般为$$\color{red} \mathbf{a}$$(粗体)表示向量
  向量的模:$$\mid \vec{a} \mid$$ 用来表示向量的大小,所以,向量的模是数量

1.3 向量的相关运算

1.3.1 向量的加减(线性运算)
  1. 对于$$\overrightarrow {AB}$$与$$\overrightarrow {BC}$$,有$$\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {AC}$$
  2. 三角形法则与平行四边形法则
    • 类似于物理中力的合成,二者方法大致相同,这里不做过多赘述。
    • 图示:
  3. 对于$$\overrightarrow {AB}$$与$$\overrightarrow {AC}$$,有$$\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC}=\overrightarrow {CB}$$
1.3.2 向量的数乘
  • $$\color{red} \lambda \overrightarrow {AB}$$表示实数$$\lambda$$与向量AB的乘积,其积$$\lambda \overrightarrow {AB}$$仍为向量
  • 满足 $$\left| \lambda \vec {a}\right|=\left| \lambda \right| \centerdot \left| {\vec {a} } \right|$$
1.3.3 向量的数量积
  • 当两个向量相乘,其积为数量,故称为“数量积”
  • 满足$$\overrightarrow {a} \centerdot \overrightarrow {b}=\left| \overrightarrow {a}\right| \centerdot \left| \overrightarrow {b} \right| \centerdot \cos \left\langle {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right\rangle$$

1.4 向量的坐标表示

  • 如图所示,向量i,j为单位向量,我们以$$\vec{i},\vec{j}$$为基底表示向量A,则有$$\overrightarrow{A}=x\vec{i}+y\vec{j}$$,我们将向量A简单表示为$$(x,y)$$,这就是向量的坐标表示
1.4.1 向量的坐标表示相关计算
  • 坐标形式的向量可以进行以下运算:
    • $$ \begin{cases} \lambda(x,y) = (\lambda x, \lambda y)\cr (x_1,y_1) \pm (x_2,y_2) = (x_1\pm x_2,y_1\pm y_2)\cr (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) =x_1 \cdot x_2+y_1 \cdot y_2 \end{cases} $$

1.5 可以得到的推论

  • 当$$\vec{a}\perp\vec{b}$$时,$$\cos \lang \vec{a},\vec{b} \rang=0$$,故此时$$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$$
  • 当向量$$(x_1,y_1)$$//向量$$(x_2,y_2)$$时,有$$\begin{cases} \frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}(x_2,y_2\neq 0)\cr \frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}(y_1,y_2\neq 0) \end{cases}$$
  • 在一定范围内两向量夹角$$\theta$$的大小可以通过$$\cos \theta$$的取值来计算:
    • 由1.3.3可知,$$\vec{a},\vec{b}$$的夹角$$\cos \lang \vec{a},\vec{b} \rang=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right|}$$

1.6 (伪)结语

  • 部分地方不够完善,待修改
  • 本章节(向量)基础知识内容较为简单,仅用来练习Markdown语法
  • 公式部分使用$$\KaTeX$$,部分浏览器可能无法加载
说点什么
支持Markdown语法
好耶,沙发还空着ヾ(≧▽≦*)o
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