向量（基础笔记）

1 平面向量的基本概念

1.1 向量和数量

向量：既有大小又有方向的量（类似于物理中的矢量）
数量：只有大小而没有方向的的量（类似于物理中的标量）

1.2 向量的符号

  向量$$a$$：手写一般使用$$\color{red} \vec{a}$$，而印刷一般为$$\color{red} \mathbf{a}$$（粗体）表示向量
  向量的模：$$\mid \vec{a} \mid$$ 用来表示向量的大小，所以，向量的模是数量

1.3 向量的相关运算

1.3.1 向量的加减（线性运算）

1. 对于$$\overrightarrow {AB}$$与$$\overrightarrow {BC}$$，有$$\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {AC}$$
2. 三角形法则与平行四边形法则
   • 类似于物理中力的合成，二者方法大致相同，这里不做过多赘述。
   • 图示：
3. 对于$$\overrightarrow {AB}$$与$$\overrightarrow {AC}$$，有$$\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC}=\overrightarrow {CB}$$

1.3.2 向量的数乘

• $$\color{red} \lambda \overrightarrow {AB}$$表示实数$$\lambda$$与向量AB的乘积，其积$$\lambda \overrightarrow {AB}$$仍为向量
• 满足 $$\left| \lambda \vec {a}\right|=\left| \lambda \right| \centerdot \left| {\vec {a} } \right|$$

1.3.3 向量的数量积

• 当两个向量相乘，其积为数量，故称为“数量积”
• 满足$$\overrightarrow {a} \centerdot \overrightarrow {b}=\left| \overrightarrow {a}\right| \centerdot \left| \overrightarrow {b} \right| \centerdot \cos \left\langle {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right\rangle$$

1.4 向量的坐标表示

• 如图所示，向量i,j为单位向量，我们以$$\vec{i},\vec{j}$$为基底表示向量A，则有$$\overrightarrow{A}=x\vec{i}+y\vec{j}$$，我们将向量A简单表示为$$(x,y)$$，这就是向量的坐标表示

1.4.1 向量的坐标表示相关计算

• 坐标形式的向量可以进行以下运算：
  • $$ \begin{cases} \lambda(x,y) = (\lambda x, \lambda y)\cr (x_1,y_1) \pm (x_2,y_2) = (x_1\pm x_2,y_1\pm y_2)\cr (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) =x_1 \cdot x_2+y_1 \cdot y_2 \end{cases} $$

1.5 可以得到的推论

• 当$$\vec{a}\perp\vec{b}$$时，$$\cos \lang \vec{a},\vec{b} \rang=0$$，故此时$$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$$
• 当向量$$(x_1,y_1)$$//向量$$(x_2,y_2)$$时，有$$\begin{cases} \frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}(x_2,y_2\neq 0)\cr \frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}(y_1,y_2\neq 0) \end{cases}$$
• 在一定范围内两向量夹角$$\theta$$的大小可以通过$$\cos \theta$$的取值来计算：
  • 由1.3.3可知，$$\vec{a},\vec{b}$$的夹角$$\cos \lang \vec{a},\vec{b} \rang=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right|}$$

1.6 （伪）结语

• 部分地方不够完善，待修改
• 本章节（向量）基础知识内容较为简单，仅用来练习Markdown语法
• 公式部分使用$$\KaTeX$$，部分浏览器可能无法加载